1. Introdução
Em simulações de reservatórios de petróleo estuda-se o escoamento simultâneo de duas ou mais fases dentro de um meio poroso, por exemplo, água, óleo e gás. Considerando um escoamento de duas fases imiscíveis, de modo que não ocorram transferências de massa entre elas, tem-se que as fases, por exemplo água e óleo, não se misturam, permanecendo separadas por uma interface.
O formato da interface que delimita a fronteira entre duas fases e a sua influência no escoamento depende da escala que está sendo considerada. Na escala molecular, por exemplo, uma interface é uma estreita zona tridimensional onde estão presentes moléculas de ambas as fases. Já na escala do contínuo, uma interface pode ser interpretada como uma superfície de descontinuidade das propriedades.
Em simulações na escala de reservatórios de petróleo, as interfaces se tornam um recurso distribuído dentro do meio poroso e não precisam ser modeladas explicitamente. No entanto, seu efeito deve ser levado em conta nas equações que modelam o fenômeno físico.
2. Tubos Capilares
Geralmente não existe uma interface nítida separando as fases, que podem ocupar o mesmo ponto na descrição contínua. Em um escoamento bifásico de água (denotada pelo subíndice w, de water) e óleo (denotado pelo subíndice o, de oil), tem-se que os dois fluidos preenchem conjuntamente os vazios do meio poroso. Isso pode ser representado pela seguinte relação:
onde Sᵥᵥ é a saturação da água e S₀ é a saturação do óleo, que são variáveis correspondentes à fração do volume vazio do meio poroso que é preenchido pela água e pelo óleo, respectivamente.
Devido à tensão interfacial, o fluido experimenta uma força de pressão conhecida como pressão capilar, que faz com que o mesmo suba ou desça do nível de fluido livre através de tubos capilares estreitos. A Figura 1 ilustra uma situação comum onde a água sobe por tubos capilares de diferentes diâmetros.
Figura 1: Água subindo por tubos capilares de diferentes diâmetros.
Em um reservatório de petróleo existem inúmeros tubos capilares do próprio meio poroso, que fazem com que esse fenômeno ocorra constantemente. Assim, em um meio poroso molhável à água, os efeitos interfaciais forçam a água a preencher os tubos capilares de menor diâmetro, enquanto que o óleo permanece em tubos capilares de maior diâmetro.
Em tubos com as mesmas propriedades, a pressão capilar é baixa para maiores diâmetros e alta para menores diâmetros. Considerando o movimento do óleo em uma rocha porosa molhável à água, a pressão necessária para forçar a primeira gota de óleo a entrar no espaço vazio da rocha é chamada de pressão capilar de entrada. A partir desse movimento, aos poucos o óleo vai ocupando espaços vazios de diâmetros cada vez menores, e assim sua saturação aumenta, enquanto que a saturação da água diminui. Ou seja, existe uma relação entre a pressão capilar e a saturação das fases, mais especificamente, a saturação da água.
3. Pressão Capilar
Em termos da interface entre dois fluidos, como óleo e água, a pressão capilar representa uma descontinuidade na pressão dos mesmos, sendo definida por:
onde p₀ é a pressão do óleo e pᵥᵥ é a pressão da água. Ao definir uma fase referência k, temos
e
ou seja, as pressões das fases são definidas em função da pressão da fase de referência e da pressão capilar do par de fluidos. Tomando o óleo como fase de referência, temos
e
Com isso, a pressão da água passa a ser dada como uma função da pressão do óleo e da pressão capilar do par óleo-água. Como a pressão capilar do par óleo-óleo é nula, o sistema bifásico possui apenas a pressão capilar p꜀,ₒᵥᵥ, que pode simplesmente ser denotada por p꜀.
4. Relação com a saturação
Como mencionado anteriormente, existe uma relação entre a pressão capilar e a saturação da água, ou seja
Essa relação pode ser modelada de várias formas.
Uma modelagem clássica consiste na obtenção da pressão capilar por meio de interpolações realizadas com dados tabelados da função J de Leverett, que descreve a seguinte relação:
onde J(Sᵥᵥ) é a função adimensional J de Leverett, σ é a tensão interfacial, é o campo de porosidade do meio, K é o campo de permeabilidade absoluta do meio e é o ângulo de contato.
Outros dois exemplos de modelos de pressão capilar são o de Brooks e Corey e Van Genuchten, dados respectivamente pelas expressões:
e
onde p꜀,ₒ é a pressão capilar de entrada, -1 é o índice de distribuição de tamanho de poros e m é o coeficiente de Van Genuchten.
5. Exemplo de escoamento com capilaridade
A seguir é apresentado um exemplo de simulação numérica de um escoamento bifásico simplificado considerando os efeitos da pressão capilar.
Considera-se a injeção de água na borda esquerda de um domínio unidimensional contendo óleo. A água desloca o óleo, que será produzido na borda direita. Na Figura 2 tem-se uma representação do escoamento.
Figura 2: Esquema de escoamento da esquerda para a direita.
A curva de pressão capilar em função da saturação utilizada foi baseada em valores tabelados e está ilustrada na Figura 3.
Figura 3: Pressão capilar em função da saturação.
Comparações da evolução da frente de saturação de água no domínio para os casos com e sem efeitos da pressão capilar são apresentadas nas Figuras 4 e 5, onde nota-se que o avanço da saturação de água é mais rápido quando o efeito da pressão capilar é considerado.
Figura 4: Perfis de saturação de água com e sem efeitos da pressão capilar.
Figura 5: Detalhes das frentes de saturação de água.
Os resultados mostram que a pressão capilar causa efeitos importantes na frente de saturação de água. Esses efeitos são extremamente complexos e significativos em escoamentos mais sofisticados e realísticos.
6. Conclusão
As forças capilares podem ter um impacto significativo no escoamento, mudando a direção e velocidade das frentes de saturação. Quando combinados com a heterogeneidade do meio poroso, os efeitos capilares são geralmente difíceis de se prever sem o auxílio de simulações detalhadas. Portanto, a modelagem numérica desses efeitos é um passo fundamental para as simulações computacionais de escoamentos em reservatórios, que constituem uma ferramenta importante na estimação da produção de petróleo.
7. Referências e materiais indicados
AZIZ, K. Petroleum reservoir simulation. Applied Science Publishers, v. 476, 1979.
CHEN, Z.; HUAN, G.; MA, Y. Computational methods for multiphase flows in porous media. [S.l.]: SIAM, 2006.
BENTSEN, R. G.; ANLI, J. A new displacement capillary pressure model. Journal of Canadian Petroleum Technology, v. 15, n. 03, 1976.
LEVERETT, M. Capillary behavior in porous solids. Transactions of the AIME, OnePetro, v. 142, n. 01, p. 152–169, 1941.
BROOKS, R. H.; COREY, A. T. Hydraulic Properties of Porous Media. Hydrology Paper, v. 3, 1964.
GENUCHTEN, M. T. van. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Science Society of America Journal, v. 44, n. 5, p. 892–898, 1980.