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COMPARTILHANDO CONHECIMENTOS EXCLUSIVOS SOBRE CULTURA E ENGENHARIA

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Introdução aos métodos de otimização

Atualizado: 26 de set. de 2022

1. Introdução

Os métodos de otimização utilizados em problemas de engenharia são aplicados na busca de mínimos e máximos de uma função. Isso é feito através da busca sistemática de valores das variáveis de entrada da função.

Esse artigo tem como objetivo apresentar alguns conceitos e exemplos didáticos com uma introdução à otimização aplicada à engenharia.


2. O método de Newton-Raphson na otimização

Os métodos clássicos buscam o mínimo de uma função utilizando-se o método de Newton-Raphson aplicado à primeira derivada da função objetivo. Esse é um método largamente utilizado para a busca de raízes de funções. No nosso contexto, buscamos a raíz da primeira derivada da função objetivo que, como foi discutido nesse artigo, indica que temos um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão.

Esse método pode ser obtido a partir da seguinte expansão em série de Taylor (1):

No contexto da otimização, a função f(x) é chamada de função objetivo, f'(x) é a sua primeira derivada, f''(x) a sua segunda derivada e assim sucessivamente. A variável x é uma estimativa de um valor no qual f(x) pode assumir um valor mínimo, x é o passo que se deve dar para que o mínimo da função seja alcançado. Nesse ponto da discussão, é importante notar que f(x) deve ser uma função contínua e com as duas primeiras derivadas contínuasl. Além disso, nesse texto, x e f(x) são números reais.

A série de Taylor apresentada na Eq.(1) deve ser truncada no termo de segunda ordem. Isso pode ser feito, se o valor de Δx for suficientemente pequeno (2):

Além disso, espera-se que o valor de f'(x+Δx) seja zero, visto que x+Δx é o valor no qual a função apresenta seu mínimo. Portanto, pode-se escrever (3):

3. Caso especial: função polinomial quadrática

Para uma função objetivo polinomial quadrática, como (4):

Tem-se que (5):

Portanto, para a função (6):

Temos a seguinte derivada (7):

E a seguinte derivada segunda (8):

Se a estimativa inicial para o mínimo da função for x=0.5, tem-se que a derivada nesse ponto é 1.0. Portanto, a derivada da função no ponto x=0.5 não é zero, como se esperaria. A figura abaixo ilustra o ponto x=0.5 em verde e o mínimo da função em vermelho:

Agora, deseja-se obter o ponto vermelho a partir do método clássico de otimização descrito acima. Portanto, utilizando-se a Eq.(5), tem-se (9):

Portanto, o ponto no qual a derivada da função é zero, pode ser calculado da seguinte forma (10):

Podemos então determinar o valor da derivada da função objetivo nesse ponto, utilizando-se a Eq. (7) (11):

Como esperado.

Importante notar que o valor exato do mínimo da função objetivo foi obtido com somente um passo do método de Newton-Raphson. No entanto, são raros os casos nos quais isso pode acontecer. Se analizarmos a série de Taylor apresentada na Eq.(1), podemos concluir que, para a função objetivo polinomial quadrática, os termos de alta ordem são zero, visto que as derivadas de ordem maior que três são zero. Portanto, o método de Newton-Raphson é exato para funções nas quais as derivadas de ordem maior que três são zero.


4. Caso mais comum


Se analizarmos uma função na qual isso não é verdade, como (12):

Temos a seguinte derivada (13):

E a seguinte derivada segunda (14):

Portanto, substituindo as Eqs.(13) e (14) na Eq.(3), temos (15):

Alguns testes serão feitos para a = 2π. Se a estimativa inicial do valor de x para o qual o estima-se que a função f(x) assume um valor de mínimo for igual a 0.6, tem-se:


Portanto, o mínimo foi atingido com 3 iterações, visto que f'(x) é muito próximo de zero e f''(x) é positivo. O sinal positivo da segunda derivada nos indica que um ponto de mínimo foi alcançado e o sinal negativo da segunda derivada nos indica que um ponto de máximo foi alcançado. Observa-se que o ponto encontrado é um ponto de mínimo local, visto que o mínimo global dessa função aconte em x=-0.233793.

É importante notar que se o valor de f''(x) for próximo de zero (nas proximidades de um ponto de inflexão) o valor de Δx pode alcançar valores muito altos. Como podemos ver para o caso onde a estimativa inicial do valor de x para o qual o estima-se que a função f(x) assume um valor de mínimo é igual a 0.4919. Tem-se:

O Δx nesse caso alcançou -634.5. Portanto, é importante adotar estratégias para limitar o passo nesse método.

Para o caso em que estimativa inicial do valor de x é de 0.4, tem-se:



Nesse caso, o método de Newton-Raphson encontrou um ponto de máximo local, visto que f'(x) é muito próximo de zero e f''(x) é negativo. Portanto, esse é mais um ponto de cuidado ao se utilizar esse método. Como comentado anteriormente, esse método busca a raíz da derivada da função objetivo. Um ponto de derivada nula pode indicar 3 coisas: ponto de mínimo, ponto de máximo ou ponto de inflexão. Os três casos foram explorados nos exemplos apresentados anteriormente:


5. Conclusão


O método de Newton apresentado nesse artigo é uma ferramenta poderosíssima, mas limitada. Por exemplo, as derivadas de uma função objetivo podem ser desconhecidas e somente a avaliação da função objetivo está disponível para o engenheiro. Nesses casos, ainda é possível a utilização de métodos numéricos para a determinação de aproximações para as derivadas de primeira e segunda ordem dessa função.

A otimização é uma ferramenta poderosíssima e é amplamente utilizada na engenharia, como por exemplo em problemas de otimização topológica, otimização de geometrias, desgin estrutural, problemas inversos, entre outros.

Na WIKKI Brasil a otimização é largamente utilizada, como na obtenção de parâmentros para a modelagem da permeabilidade relativa entre rocha, água e óleo. A permeabilidade relativa é modelada utilizando-se quatro constantes, que são incialmente desconhecidas. Deseja-se determinar as constantes de tal forma que o resultado de uma simulação numérica (CFD utilizando o software OpenFOAM) se aproxime o máximo possível de um experimento material feito em laboratório. Portanto, a função objetivo a ser minimizada é a diferença entre o gradiente de pressão ao longo do tempo (dP(t)) e do volume de óleo produzido ao longo do tempo (V(t)) do resultado obtido em uma simulação e do resultado obtido experimentalmente. Como pode ser visto na imagem abaixo, os resultados obtidos com a simulação, feita no OpenFOAM, se aproximaram muito bem dos valores experimentais:

Apresentaram-se nesse artigo alguns conceitos e exemplos objetivando-se um início à introdução a esse importante tema.


6. Referências e materiais indicados


  1. FERMAT e o problema de OTIMIZAÇÃO | Matemática - funções, geometria espacial e máximos. Vídeo por Universo Narrado, 2022. 1 vídeo (17min43). Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=TLh9zNdxpbs&t=2s&ab_channel=UniversoNarrado.

  2. Acesso em: 22/04/2022

  3. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5. ed. [S.l.]: LTC, 2001. v. 1.

  4. MARTINS, J. R. R. A; Ning, A. Engineering design optimization. [S.l.]: Cambridge University Press, 2021

  5. STACK EXCHANGE, What is the correct equation for Newton's Method?, Stack Exchangem, 2020. Disponível em: https://stats.stackexchange.com/questions/508376/what-is-the-correct-equation-for-newtons-method. Acesso em: 20/04/2022

  6. _______________, How to prevent newton's method from finding maxima?, Stack Exchangem, 2017. Disponível em: https://stats.stackexchange.com/questions/247446/how-to-prevent-newtons-method-from-finding-maxima. Acesso em: 20/04/2022

  7. UNI MUENCHEN, Newton-Raphson (NR) optimization, Cup Uni Muenchen, 2004. Disponível em: https://www.cup.uni-muenchen.de/ch/compchem/geom/nr.html. Acesso em: 22/04/2022

  8. VANDERPLAATS, G. N. (1988). Numerical optimization techniques for engineering design with applications. McGraw-Hill.



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